BİLDİRİ DETAY

Abdullah ERGÜN, Rauf AMİROV
ARALIKTA SÜREKSİZLİK FONKSİYONUNA SAHİP DİFÜZYON DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ İÇİN İNTEGRAL GÖSTERİLİM
 
Spektral teori diferansiyel operatörler için önemli kavramlardan biridir. Bazı uygulamalı bilimlerde fizikte, matematikte ve matematiksel fizikte karşımıza çıkmaktadır. Diferansiyel operatörün öz fonksiyonlarının ve spektrumunun aranması, verilen bir fonksiyonun bu operatörün öz fonksiyonlarına göre ayrışımının incelenmesine düz spektral problem adı verilir. Verilen belirli dizilere göre spektral karakteristikleri bu diziler olan operatörün inşasına ise ters problem adı verilir. Mühendislikteki birçok problem ters problemlere indirgenmektedir. Örneğin; Elektronik mühendisliğinde Sürekli faz modülasyonunun yeni çözümlemeleriyle güç, bant genişliği ve hesapsal etkili, sabit zarflı sayısal haberleşme sistemlerinin tasarımı; jeofizikte mühendisliğinde yer altı madenlerinin yer altındaki elementlerin dağılım karakteristiklerine göre belirlenmesi problemlerinin her biri birer ters problemdir. Literatürde; ikinci mertebeden diferansiyel denklemine Sturm-Liouville denklemi, bu denklem veya bu denklem ve farklı birtakım sınır koşulları tarafından üretilen operatörlere Sturm-Liouville operatörleri, bu operatörler için konulan spektral problemlere ise Sturm-Liouville problemi adı verilmektedir. Diferansiyel operatörler regüler ve singüler olmak üzere tanımlanmış ve bu operatörlerin spektral teorisi yapılandırılmıştır. Tanım bölgesi sonlu ve katsayıları sürekli fonksiyonlar olan diferansiyel operatörlere regüler diferansiyel operatör, tanım bölgesi sonsuz veya katsayılardan bazıları veya tamamı toplanabilir olmayan veya her iki durumda sağlanacak şekildeki diferansiyel operatörlere singüler diferansiyel operatör denir. Diferansiyel denklemler için ters problemler teorisinin başlangıcı sayılan ilk çalışma Ambartsumyan’a aittir. 1929 yılında Ambartsumyan tarafından Sturm-Liouville operatörleri için ters problemlerle ilgili aşağıdaki teorem ispatlanmıştır: Teorem (Ambartsumyan, 1929). , aralığın da gerçel değerli sürekli fonksiyon olmak üzere ‘ler probleminin özdeğerleri olsun. Eğer ise dır. . İkinci mertebeden singüler operatörlerin spektral teorisine yeni bir yaklaşımı 1946 yılında Titchmarsh vermiştir. Doğru ekseninde tanımlı azalan (artan) potansiyelli Sturm-Liouville operatörleri için özdeğelerin dağılımı formülü Titchmarsh tarafından bulunmuştur. Ters problemlerin çözümünde önemli bir araç ise dönüşüm operatörleri olmuştur. Bu kavramı J. Delsarte (1938), J. Lions (1957) ve B. M. Levitan (1964) yaptıkları çeşitli çalışmalarda kullanmışlardır. II. mertebeden lineer diferansiyel operatörler için ters problemler teorisinde bir sonraki en önemli aşamalardan birisi V.A.Marchenko tarafından kaydedilmiştir. 1950 yılında V.A.Marchenko ters problemlerin çözümünde Sturm-Liouville operatörünün spektral fonksiyonundan yararlanmıştır. G. Sh. Guseinov (1984) çalışmasında olmak üzere regüler diferansiyel denklemini ele almıştır. Guseinov bu çalışmasında verilen başlangıç koşullarını sağlayan çözümler için integral gösteriliminin varlığını ispatlamış ve integral gösterilimindeki çekirdek fonksiyonun sağladığı bir takım özellikler elde etmiştir. XIX. yüzyılın sonlarında ikinci mertebeden diferansiyel operatörler için sonlu aralıkta regüler sınır şartları sağlanacak şekilde adi diferansiyel operatörlerin özdeğerlerinin dağılımı G. D. Birkoff tarafından incelenmiştir. Ayrık spektruma sahip ve uzayın tamamında tanımlı operatörlerin özdeğerlerinin dağılımı, özellikle kuantum mekaniğinde çok önem taşımaktadır. Birinci mertebeden iki denklemin regüler sistemleri daha sonraki yıllarda ele alınmıştır. Singüler operatörler için spektral teori ilk olarak Weyl tarafından incelenmiştir. Weyl fonksiyonu ilk olarak H. Weyl (1910) tarafından literatüre katılmıştır. Weyl’in adıyla anılan fonksiyonu öncelikle singüler problemler için Sturm-Liouville teorisinde standart bir araç olmuştur. Daha sonra regüler problemlerde detaylıca çalışılmıştır. L problemini aşağıdaki şekilde tanımlayalım; (1) (2) burada spektral parametre, , , , ve to be , reel sayılardır. Bu çalışmada, (1) süreksizlik fonksiyonlu difüzyon operatörü ele alınmıştır. (2) 'deki başlangıç koşullarını sağlayan çözümler için ters problemlerin oluşturulmasında çok yararlı olan integral gösterilimler bulunmuştur. Bu integral gösterimler, süreksizlik fonksiyonuna sahip difüzyon operatörü için ters problemi oluşturmakta kullanılabilir. Amaç: Bu çalışmanın yapılma amacı süreksizlik katsayısına sahip difüzyon operatörlerinin düz ve ters problemlerinin kurulumunda kullanılan çözümlerin integral gösterilimlerini elde etmektir. Kapsam: Yapılan bu araştırma difüzyon operatörleri üzerinde yapılan pek çok çalışma irdelenerek henüz uygulanmamış yeni tanımlı bir süreksizlik fonksiyonu üzerinde çözümlerin integral gösterilimi incelenmiştir. Çalışma yaklaşık 5,5 aylık sürede tamamlanmıştır. Sınırlılıklar: ikinci mertebeden diferansiyel operatörler özellikle Sturm-Liouville denkleminde çok farklı problemler incelenmektedir. Bunların özel bir hali olan difüzyon operatörünün yine özel bir hali olan süreksizlik fonksiyonuna sahip olan kısmı alınmıştır. Yöntem: Çözümler için integral denklemler elde edilirken sabitlerin değişimi yöntemi, integral gösterilimler elde edilirken ise ardışık yaklaşımlar yöntemi kullanılmıştır. Bu çalışma, SMYO-016 projesi kapsamında Cumhuriyet Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projesi Fonu tarafından desteklenmektedir. Bulgular: Özellikle daha önce yapılan çalışmalar incelendiğinde; bu çalışmada elde edilen integral gösterilimlerdeki çekirdek fonksiyonların sağladığı eşitsizliklerin farklı olduğu bulunmuştur. Sonuç: Bu çalışmada verilen başlangıç koşullarını sağlayan süreksiz katsayılı difüzyon operatörünün spektral verileri ve ters fonksiyonunda önemli bir yere sahip olan integral gösterilim elde edilmiştir. Dolayısıyla bu problem için ters problem kurmanın önü açılmıştır.

Anahtar Kelimeler: İntegral Denklemi, Sturm-Lioville Denklemi, Difüzyon Denklemi



 


Keywords: