BİLDİRİ DETAY

Muzaffer AKSOY
ASAL SAYILAR KÜMESİNE FARKLI BİR BAKIŞ, GOLDBACH HİPOTEZİNİN İSPATI
 
Öz: Giriş: Asal sayılar kümesinde, sistematik bir yaklaşımla asal sayı üretmek üzere ardışık bir bağlantı geliştirildi. Bu çabalar asal sayıların rastgele dizilmediğini, düzenli bir kural içinde dizildiğini gösterdi. Bir sınır verildiğinde, bu sınırın altında kalan tüm asal sayıların belirlenebileceği gösterildi. Kriptolojide çok önemli olan büyük asal sayıların belirlenmesi ve test edilmesi kolaylaştırıldı, daha da büyük asal sayı saptanması bilgisayarın gücüne kaldı. Yüz yıllardır ispatlanamayan Goldbach Hipotezi ispatlandı. Amaç: Bu araştırmaya büyük asal sayıları inceleme amacıyla başlandı. Verilen bir sayının (UP) asal olup olmadığı, değilse bileşenlerini belirlemeye odaklanıldı. Ardışık asal sayı üreten bağlantı geliştirilirken, çalışma ilerledikçe, asırlardır ispatlanamayan Goldbach Hipotezinin tam da bu ilişkiye dayandığı görüldü, konuya odaklanınca elli yıllık çaba gerçekleşti, hipotez ispatlandı. Kapsam: Fermat 2^2^n+1 sayısının, n herhangi bir doğal sayı, olmak koşuluyla daima bir asal sayı vereceğini öngörüyordu.1732 de Euler n=5 için 641 in fermat sayısını böldüğünü gösterdi. Benzer şekilde Mersenne p>= 2 tam sayısının 2^p-1 formuyla Mersenne asallarını vereceğini öngörüyordu. Bunlardan çoğunun asal olmadığı Lucas –Lehmer testiyle gösterildi. GIMPS ( Great Internet Mersenne Prime Search) adıyla yüzlerce amatör bilgisayarcının oluşturduğu bir grup birlikte çalışarak büyük asal sayılar bulup yayınlamaktadır. Bu araştırma yapılırken 50 inci en büyük Mersenne asalını 2^77.232.917-1 olarak ilan etiler.Kriptolojide çok önemli olan büyük asal sayıların belirlenmesinde etkin bir yöntem saptanması bu araştırmanın kapsamındadır. Sınırlıklar: GIMPS in ilan ettiği 50 inci asalın 23.249.425 digitten oluştuğu ve aylarca çabaladıkları belirtiliyor. Mevcut bilgisayar güç ve hafızalarının kısıtlılığı güncel bir olgudur. Bunun yanında bireysel çabaların yetmediği de anlaşılmaktadır. Yöntem: Bu araştırmada tüm asal sayıların, başlangıçtaki BAŞ=(2.3.5) kümesiyle birlikte 1.1 D(k,p)=30k+v(p) , v(p)€MUZ=(1.7.11.13.17.19.23.29), diziniyle temsil edilebileceği gösterildi. Burada k, verilen bir UP tam sayısının 30 la tam bölümü; v(p) ise, bu bölmede kalanın aşmadığı en büyük MUZ elemanıdır. Bu 8 elemanlı MUZ kümesi her k değeri için başlangıç asallarının çarpımıyla belirlenen 30 (=2*3*5) sabiti eklenirse periyodik bir döngü oluşturur: D(1,i)=(31.37.41.43.47.49.53.59) D(2,i)=(61.67.71.73.77.79.83.89) D(3,i)=(91.97.101.103.107.109.113.119) … 1.2 D(k,i)= ((30k+1).(30k+7).(30k+11).(30k+13).(30k+17).(30k+19).(30k+23).(30k+29)) Asal sayı adayları dizinidir, k tam sayısını verilen UP, araştırılan sayı belirler: 1.3 30k+v(UP, r)<=UP<30k+v(UP, r+1), UP sayısının dizindeki hangi aralıkta olduğunu ve araştırılacak üst değerini belirler. Burada dikkate değer bir sınırlama vardır: UP sayısınınbileşeni varsa küçük olanı muhakkak bu sayının karekökünden küçüktür. Öyleyse dizinde küçük bileşen için bir alt sınır tanımlanabilir: 1.4 NALT=30p+v(kk,s)<=UP^(0.5 (=kk))<30p+v(kk,s+1), UP sayısının karekökü olan kk sayısının dizindeki hangi aralıkta olduğunu belirler. Sınırlanacak küçük çarpanın en büyük üst başlangıç değerini verir, azaltarak araştırmaya olanak verir. Dikkatlice incelendiğinde asal sayı adayları dizininde iki tür alt küme vardır. Birincisi asal sayı olanlar, diğeri bileşenliler. Bu ikincisinin de iki tür alt kümeden oluştuğu iyi bir gözlemle anlaşılır. Birincisi, dizindeki elemanların ( 7 den itibaren) ikili kombinasyonlarının çarpımından oluşan bileşenliler, öteki de alt sınırlamanın içinde kalan elemanların her birisinin karesinden oluşan bileşenliler. Bunları şu bağıntılarla gösterebiliriz: 1.5 Toplam asal aday sayısı (1.3) ten: aday=8k+r -1 (her k için MUZ dan 8 eleman var, 1 hariç, kalanın yeri r inci MUZ elemanına eşit veya küçük. 1.6 Toplam ikili kombinetorel bileşen sayısı: (1,4 ) ten alt sınırda 8p+s-1 eleman var (her p için MUZ dan 8 elemen var,1 hariç tutuluyor), karekökün 30 la bölümü p, kalanı s inci MUZ elemanına eşit veya küçük. Bu durumda ikili bileşen sayısı alt sınırdan (8p+s-1)C2 hesaplanır. Benzer şekilde büyük bileşen UP/ 7 ile sınırlandırılır. 1.7 Yukarda belirlenen eleman sayısına göre: kareseller=8p+s-1 adettir. Bunların ışığında örneğin 100 sayısı altındaki asal sayıları belirlerken (1.1) de: bileşenliler 7*11=77,7*13 = 91 ve karesel 7*7 =49 sayıları listeden düşüldüğünde 100 den küçük tüm asal sayılar görülebilir. Sonraki listede 7*17,11*11,11*13,13*13,11*17… bileşenlilerin belirleyici olacağı şimdiden görülür. Bulgular: Asal sayıları belirlerken temel alınan MUZ dizininde ardışık elemanlar arasındaki fark (6.4.2.4.2.4.6) olarak görülmektedir. Buradan hareketle, aralarında 2 fark olan ikiz asal sayılar sonsuz tanedir denilebilir. Aralarında 4 fark olan kuzen asalların da sonsuz tane olduğu anlaşılmaktadır. Asal sayılar arasındaki fark değişiklik gösterse de henüz MUZ dizinini tamamen atlayan ( 30 ve daha büyük) bir boşluk saptanamadı. Belirlenen bazı ilginç asal sayılar: 300.000.007 asaldır 300.000.011=211*1421801 300.000.013=2867*104639 300.000.017=23*13.043.479 300.000.019=5599*53581 300.000.023=6091*49253 300.000.029=7*42.857.147 300.000.007-300.000.031 arasında asal sayı yok, 24 boşluk var. 3.000.000.000.007=1.382.911*2.169.337 800.000.011 asaldır. Saniyeler içinde saptanan bu sayılar yöntemin isabetli işleyişini göstermektedir.

Anahtar Kelimeler: Büyük Asallar, Mersenne, Kriptoloji, Goldbach Hipotezi, Lehmer Testi



 


Keywords: