BİLDİRİ DETAY

Muzaffer AKSOY
ÖNCEKİ VE SONRAKİ ASAL SAYILARI BELİRLEYEN YENİ VE ETKİN BİR YÖNTEM
 
Öz: Giriş: Asal sayılar, sayılar teorisinin temelini oluşturan sayıların yapı taşlarıdır. Matematikçiler asal sayıları binlerce yıldır incelemiş, bazı çözümler elde etmiş olsalar da günümüzde asallarla ilgili açıklama gerektiren çok daha fazla açık soru vardır. Alman bilim insanı Kronecker (1823-1891) “Tanrı doğal sayıları yarattı; gerisi insanların eseridir” diyerek aritmetiğin ve analizlerin tam sayılar üzerinde kurulması gerektiğini savunmuştur. Aslında insanlara zorlaştırmalardan olabildiğince kaçınmayı, basite, açık ve anlaşılır olmaya önem vermeyi hatırlatır. Alman matematikçi ve bilim insanı Gauss (1777-1855) henüz 15 yaşındayken asal sayı dağılımını kestirmiştir ancak bildiri olarak sunulması ve ispatı başka bilim insanlarına nasip olmuştur, buna rağmen asal sayıları üretme ve belirleyip kontrol etmede sıkıntılar sürmektedir. Özellikle güvenlik alanında, şifreleme ve çözümleme uygulamalarında, kriptolojide büyük asal sayılara olan gereksinim çok fazladır; bu nedenle asal sayı üretme ve kontrolü çok önemlidir. Amaç: Asal sayılar bütününün sadece ince bir dilimi üzerinde yoğunlaşan teorik ve uygulamalı araştırmalara ek olarak, gelişen bilgisayar teknolojisi ve yazılım kolaylıklarıyla birlikte, mevcut hipotezler yeniden gözden geçirilerek etkin yöntemler geliştirilebilir. Bu araştırmanın amacı, büyük asal sayılara ulaşmak için gerekli olan, asal sayılarla ilgili alt alanlardan “önceki asal sayı” ve “sonraki asal sayı” belirlemeye katkıda bulunarak etkin bir yöntem geliştirmek, uygulamak ve sonuçlarını paylaşmaktır. Kapsam: Asal sayılar farklı kesitlerde, farklı yaklaşımlarla ele alınmış, farklı teknikler uygulanmıştır fakat, bütün asalları bir arada inceleyen bir fonksiyon henüz bulunamamıştır. Hatta tek bir fonksiyonla temsil edilemeyeceği ispat edilmiştir. Yazarın başka bir araştırmasında başlangıç asalları olarak üç asal sayı (2,3,5) ayrıldıktan sonra oluşturulan MUZ halkası [1,7,11,13,17,19,23,29] ve bundan oluşturulan MUZ Dizininin asal sayıları belirlemede kullanılabileceği gösterilmiştir. Bu araştırmanın içeriği, MUZ Dizininden faydalanarak, büyük asal sayıları üretme ve kontrol etmede yararlı olan, tüm asal sayıları kapsayan, sayı teorisinde önemli bir yer tutan önceki asal sayı ve sonraki asal sayı belirlemeye yönelik bir uygulama geliştirmek ve buna uygun bir teknikle bilgisayar programı yazarak uygulamanın işlerliğini ve etkinliğini sunmayla sınırlıdır. Araştırmanın Yöntemi: Araştırma verilen bir doğal sayının kapsadığı asal sayıların nasıl dağıldığını incelemeyle başlar. Tespit edilen beş adet hipoteze yanıt aramaya yönelik olarak, asal sayılar ve MUZ Dizini ayrıntılı olarak incelenerek, verilen sayı öngörülen uygun bölgelere ayrılır, bu bölgelerin dizindeki yeri ve sınırları belirlenir. Belirlenen bu sınırlar içinde kalan, genelde beklendiği gibi asal sayılara değil, bileşiklere odaklanılır, öngörülen hipotezlere yanıt aranır zira, MUZ Dizininde olan, belirlenen aralıkta kalan bileşikleri saptamak daha kolaydır. Bu tespitler çerçevesinde öngörülen beş hipoteze yanıt vermek üzere bir bilgisayar yazılımı geliştirildi. Aynı yazılımla önceki asallar veya sonraki asallar onluk sistemde 22 dijite kadar elde edildi (önceki araştırmalar 19dijitle sınırlıdır). Bulgular: Araştırmada kullanılan düşük hızlı bilgisayara rağmen (1.61 GHz) bulgular, önceki güncelleştirilmiş araştırmalarla elde edilen asallardan 3-4 dijit fazladır, hızlı ve yüksek kapasiteli bir bilgisayarla daha da büyük sayılara ulaşılabileceği kesindir. Öngörülen hipotezlerin beşi de doğrulanmıştır. İlk hipotez aday asal sayı dizininin asal sayıları belirlemede etkin olabileceğidir. Yazılan ve işletilen bilgisayar programı ve sonuçları hipotezi doğrulamıştır. İkinci hipotez, bu yeni uygulamada belirlenen asal sayıların diğer asalların varlığından ve konumundan bağımsız olacağıdır. Bu hipotez araştırmanın önemli bir yenilikçi yüzüdür zira, bundan önce yapılan çalışmalar genelde kaçıncı asal olacağına kilitlenmişlerdir. Üçüncü hipotez araştırma aralığının daraltılabileceğine yöneliktir ve bu doğrulanırsa araştırma süresi daha da kısaltılacaktır. Bu öngörü de doğrulanmış, aralığı belirleyen sınırlar tekniğe uygun hassasiyetle saptanarak yapılabilirliği değişik uygulamalarla gösterilmiştir. Bu işlemle bilgisayar işletim süresinin oldukça kısaltılacağı saptanmıştır. Dördüncü hipotez, araştırmada uygulanan yöntemin ileri asal sayı analiz tekniklerine gereksinim duymamasıdır. Örneğin, asal sayı sayma fonksiyonları bu yeni yönteme göre külfetli bir iştir; sayıları bileşenlerine ayırma çabaları da yeni yöntemde temel oluşturmaz. Temelde bu hipotez ikinci hipotezde öngörülen yöntemin bağımsız olmasını tamamlamaktadır. Beşinci ve sonuncu hipotez araştırmanın sonuçlarıyla doğrulanmıştır. Başlangıçta isabetli olarak seçilen ve araştırmanın temel dayanağı olan bileşiklerin dağılımının izlenmesi, asallardan ziyade bileşiklere odaklanılması araştırmayı kolaylaştırmıştır. Aday asallar sabit bir MUZ halkasına uygun olarak periyodik bir dizin içinde, ortalama 3,75 sayı aralıkla geldikleri için bileşiklerin gelişi de bu ortalamaya yaklaşacaktır hipotezi doğrulanmıştır. Çok büyük sayılarda bileşiklerin geliş aralığı virgülden kendi dijit sayısı kadar sonra anlamlı olacaktır, ondan önce geliş aralığı sabit gibi izlenecektir. Sonuçlar: Bu araştırma, temelleri sağlam, sonuca odaklanmış, basit ve anlaşılabilir, etkili bir yöntem ortaya koymuştur. Bulunan bu yeni tekniğe dayanan bir bilgisayar programı, önceki asalları ve aynı yazılımla sonraki asalları mevcut bilgisayarların hızına ve kapasitesine bağlı bir hızda ve büyüklükte vermektedir. Bulunan asal sayılar 10’luk sistemde 22 dijite kolaylıkla ulaşmıştır; üstelik kullanılan bilgisayarın hızı 1.00 GHz 1.61 GHz olarak oldukça düşüktür. Önceki güncellenmiş araştırma sonuçları 18-19 dijitle sınırlıdır. Büyük asal sayılar günümüzde kriptoloji başta olmak üzere, güvenlik alanında, bankacılıkta, savunma sanayiinde ve ulusal güvenlikte çok önemlidir. Yeni yönteme uygun olarak yazılan bilgisayar programı sınır değiştirerek araştırmaya uygun esnek bir yapıdadır; bilgisayar işletim süresini kısaltmaya uygundur.

Anahtar Kelimeler: Önceki Asal Sayı, Sonraki Asal Sayı, Muz Dizini, Asal Sayı Üreteci ve Kontrolü



 


Keywords: