BİLDİRİ DETAY

Münevver TUZ, Keziban TAŞ
TERS PROBLEM TEORİSİNDE GELFAND-LEVITAN İNTEGRAL DÖNÜŞÜMÜ
 
Giriş:Diskret spektruma sahip ve uzayın tamamında tanımlı operatörlerin özdeğerlerinin dağılımı özellikle kuantum mekaniğinde oldukça önem taşımaktadır. İkinci mertebeden operatörler için spektral teori, günümüzde Sturm-Liouville teorisi olarak bilinir. XIX. asrın sonlarında ikinci mertebeden diferensiyel operatörler için sonlu aralıkta regüler sınır şartları sağlanacak şekilde keyfi mertebeden adi diferensiyel operatörlerin özdeğerlerinin dağılımı G.D. Birkoff tarafından incelenmiştir. Singüler operatörler için spektral teori ilk olarak H. Weyl tarafndan incelenmiştir. Daha sonra F. Riesz, J. VonNeumann, K.O. Friedrichs ve diğer matematikçiler tarafından simetrik ve self-adjoint operatörlerin genel spektral teorisi yapılandırılmıştır. İkinci mertebeden singüler operatörlerin spektral teorisine yeni bir yaklaşım (Titchmarsh,1950) tarafından vermiştir. Doğru ekseninde tanımlı azalan veya artan potansiyelli Sturm-Liouville operatörleri için özdeğerlerin dağılım formülü yine (Titchmarsh,1950) tarafndan bulunmuştur. Bu operatöre bir boyutlu potansiyelli Schrödinger operatörü de denir. Singüler diferansiyel operatörlerin incelenmesine ilişkin ve diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde önemli yere sahip olan çalşmalar (Levitan veSargysan, 1970) tarafından yapılmıştır. Farklı singüler durumlarda diferensiyel operatörlerin spektral teorisi, özellikle özdeğerlerin, özfonksiyonların asimptotiği ve özfonksiyonların tamlığına ilişkin konular Courant, Carleman, Birman, Salamyak, Maslov ve Keldish gibi matematikçiler tarafından geliştirilmiştir. Diferensiyel operatörler için şu problemler gözönüne alınır; Hangi spektral verilere göre operatörü tanımlamak mümkündür, hangi spektral verilere göre operatör bire bir olarak tanımlanmaktadır, bu verilere göre operatörlerin tanımlanma yöntemlerinin verilmesidir. Sturm-Liouville operatörleri için ters problem teorisinde dönüşüm operatörü önemli bir rol oynar. Keyfi Sturm-Liouville denklemleri için dönüşüm operatörleri Povzner tarafından yapılmıştır. Ters problem teorisinde dönüşüm operatörleri (Levitan ve Sargysan, 1970; Marchenko ve Ostrovskii,1975)tarafndan kullanılmıştır . fonksiyonu için aşağıdaki gösterim geçerlidir. (1) olmak üzere (1) denklemine integral denklem denir. Burada fonksiyonu üzerinde tanımlı iki değişkenli, ölçülebilir karmaşık değerlidir. ye integral denkleminin çekirdeği denir. çekirdeği, (2) şartını sağladığında Hilbert-Schmit çekirdeği adını alır.Ayrıca karmaşık değerli olduğunda (3) şartı sağlandığında ye Hermit çekirdeği denir. reel değerli olduğunda sağlanır. Bu durumda ye simetrik çekirdek denir. Teorem: (1) integral denklemini gözönüne alalım. Eğer bu denklemin çekirdeği için (2) ve (3) koşulları sağlanırsa aşağıdaki hükümler doğrudur. 1) (1) denkleminin en az bir tane karakteristik değeri vardır, 2) (1) denkleminin bütün karakteristik değerleri gerçeldir. Karakteristik değerler sonlu sayıda veya sonsuz sayıda olabilir. Eğer karakteristik değerler sonsuz sayıda ise onlar mutlak sayılabilir sayıdadır. 3) (1) denkleminin özfonksiyonları ikişer ikişer birbirine ortogonaldir, ayrıca normları 1 dir, olsun. ise (1) denkleminin mutlak sonsuz ama sayılabilir sayıda karakteristik değerleri vardır. 5) Eğer N= ise karakteristik fonksiyonlar uzay içinde bir baz oluşturur. (Genel Dejenerelik). olacak şekilde ise fonksiyonu genel dejeneredir. Teorem 1 (4) (5) (6) şeklinde (4)-(5) periyodik ve (4)-(6) Dirichletproblemlerini gözönüne alalım ile ilk problemin spektrumunu, ile de ikinci problemin spektrumunu gösterelim. problemin çözüm fonksiyonu olsun. Her için ve spektrumlarının tamamı çakışsın. ve spektrumları ise sonlu 'ler için farklı olacak şekilde yani için ve için olsun. olmak üzere ters problemin esas integral (Gelfand-Levitan-Marchenko) denklemi genel dejenere denklemdir. Amaç: Bu çalışmada iki spektruma göre ters problemin esas integral denkleminin genel dejenere olduğu gösterilmiştir. Kapsam: Sturm-Liouville operatörü için periyodik ve Dirichlet sınır şartlı ters problemler ele alınmıştır. Yöntem: Gelfand Levitan Marchenko tarafından Sturm-Liouville problemi için verilen metod uygulanmıştır. Bulgular: Çekirdek fonksiyonu, çözüm fonksiyonlarının çarpımları toplamına karşılık gelir. Sonuç: İkinci mertebeden periyodik katsayılı Schrödinger denklemi için ele alınan Hill operatörü için kısmen çakışmayan iki spektruma göre ters problemin esas integral denkleminin genel dejeneriliği gösterilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Ters Problem, Çekirdek Fonksiyon, Dejenere



 


Keywords: